Slam 6강 (Bayes Filter) 요약
Cyrill 교수님의 SLAM 강의를 듣고 정리해보자!
0. Today’s Goal
- Bayes Filter란?
- Bayes Filter 식 유도
- Bayes Filter의 개념적인 접근
- Bayes Filter의 확장
- Reference
1. 강의 및 강의 자료
강의 List는 SLAM KR의 SLAM DUNK seson 2에서 정해준 강의를 따라 정리를 할 것이다.
SLAM DUNK season 2의 Reference는 여기서 확인해 볼 수 있다.
SLAM KR에서 이 강의를 듣고 요약을 세미나 형식으로 준비를 해준다!
이번 포스팅은 다음의 강의들을 참고하여 요약을 해보았다.
Cyrill Stachniss의 강의 자료는 pdf로 다운 받을 수 있다.
2. Bayes Filter란?
Bayes Filter를 이야기 하기 전에 우선 베이즈 정리(Bayes’ theorem)가 무엇인지 간단히 알아보자.
확률 시간에 들어볼 법한 베이즈 정리는 이전의 경험과 현재의 증거를 토대로 어떤 사건의 확률을 추론하는 과정을 이야기한다. 이말을 조금 더 확률에 나온는 용어들을 활용해서 이야기하면 prior와 likelihood를 이용하여 posterior를 구할 수 있다는 의미이다.
자세한 내용은 아래의 블로그들을 참고하자.
Bayes Filter는 이러한 Bayes’ theorem를 반복적으로 사용하는 Filter로 이해하면 된다.
Cyrill 교수님은 강의 초반 Recursive State Estimation의 정의에 대해서 한번 언급해주신다.
State Estimation이란 $t$라는 시간에서 로봇의 상태 $x$를 로봇의 관찰값(observation) $z$와, 로봇의 Control command $u$에 의해서 결정하게 되는 것이다.
위 식은 1부터 $t$까지 주어진 observation $z$와 control command $u$를 고려해서 $t$번째 로봇의 상태 $x$를 추정하는 것이다.
여기에 Recursive의 의미를 붙이면 로봇의 상태 $x_{t-1}$를 활용해서 로봇의 상태 $x_t$를 추정하는 것이다.
Bayes Filter의 가장 유명한 에제인 Robot의 위치 찾는 것을 예를 들어 알아보자.
로봇은 1차원 공간을 가정하고, Door인지 아닌지 판단할 수 있다. 그리고 Global Environment에 대해 아무것도 모르는 상태라고 해보자. 처음은 아무것도 모르는 상태이기 때문에 로봇의 위치를 Uniform distribution으로 나타낼 수 있다.
로봇의 움직이면서 문을 관찰했을 경우, $bel(x)$는 아래와 같이 변한다.
(문을 관찰했으므로 문 앞에 로봇에 위치가 있을 확률이 높다고 판단하는 것이다.)
구한 $bel(x)$를 가지고 로봇을 앞으로 조금 움직여보자.
우리가 예측했던 $bel(x)$의 모양은 그대로 이지만 로봇이 정확하게 얼마나 움직였는지 불확실성이 존재하기 때문에, 확률 분포가 조금 퍼져있는 형태로 나타내졌다.
그리고 또 다시 한번 새로운 관찰값을 받아보자.
새로운 관찰값 $p(z|x)$ 와
기존의 $bel(x)$의 확률 분포를 합쳐 새로운 $bel(x)$를 구할 수 있다.
이처럼 로봇의 이전의 $bel(x)$ 값과
observation 값($p(z|x)$)을 활용해서 현재의 $bel(x)$ 값을 나타내는 것이 Bayes Filter이다.
3. Bayes Filter 식 유도
먼저 식 유도를 하기 전 확률에 대한 기본적인 지식을 Remind해보자.
- Bayes’ theorem
- Markov Property/Assumption
- Law of Total Probability
Cyrill교수님은 강의 자료에서는 슬라이드로 정리를 해주셨다.
- Bayes’ theorem
우리가 지금까지 봤던 베이즈 정리(Bayes’ theorem)를 한 장의 슬라이드로 정리하면 아래와 같다.
- Markov Property/Assumption
그렇다면 Markov Property/Assumption이란 무엇일까?
한마디로 이야기하면 미래의 상태를 예측할 때, 현재의 상태에 대해서만 영향을 받고 그 이전 모든 과거의 상태에 대해서는 영향을 받지 않는다는 의미이다. 즉, 미래는 과거와 독립적인 확률 과정을 가진다는 의미이다.
- Law of Total Probability
Law of Total Probability도 한 장의 슬라이드로 정리하면 아래와 같다.
| 조건부 확률($p(x | y)$)로 부터 조건이 붙지 않은 전체 확률 ($p(x)$)를 구할 때 사용하는 법칙이다. |
Marginalization은 Law of Total Probability와 비슷한데 조건부 확률 대신 결합 확률을 사용했다는 차이점만 있다.
Law of Total Probability에 대해 잘 설명해 놓은 네이버 블로그([기초 통계] Law of Total Probability 란?)도 있으니 참고해보면 좋을 것 같다.
그렇다면 자세하게 Bayes Filter를 수식적으로 파헤쳐보자.
우선 $t$번째 시간의 $bel(x_t)$를 정의하면 아래와 같다.
이를 Bayes’ Rule을 적용하면 아래와 같이 바꿀 수 있다.
$p(x,y) = p(y|x) p(x)$ 를 적용했다고 이해했다.
위 식에서 첫번째 부분을 Markov Assumption을 적용하여 간략하게 나타낼 수 있다.
$z_t$를 구하는데 그 이전 값들($z_{1:t-1} , u_{1:t}$)은 고려하지 않는다는 가정,
$u_t$는 현재 값이지만 $z_t$를 구하는데는 영향을 끼치지 않는다.
Law of Total Probability를 활용해서 위 식의 두번째 Block의 식도 변형할 수 있다.
위 식에서 또 한번 Markov Assumption을 적용하여 식을 간단하게 나타낼 수 있다.
$x_t$를 구하는데 그 이전 값들($z_{1:t-1} , u_{1:t-1}$)은 고려하지 않는다는 가정
위 식에서 맨 마지막 Block에 $p(x_{t-1})$을 구할 때 $u_t$는 고려하지 않아도 되므로 제거한다.
이전의 정의한 $bel(x_{t-1})$을 이용하여 식을 Recursive 형태로 써주면 아래와 같다.
4. Bayes Filter의 개념적인 접근
Bayes Filter를 개념적으로 크게 두 가지로 분류할 수 있다.
-
Prediction Step : 이전 값의 $bel(x_{t-1})$을 가지고 현재 control command인 $u_t$를 더하여 현재의 상태를 예측하는 단계이다.
-
Correction Step : Prediction Step에서 구한 값과 현재 관찰되는 값 ($z_t$)을 가지고 정교하게 상태 값을 계산한다.
Prediction Step에서는 Motion Model을 이용하고, Correction Step에서는 Observation model을 이용한다.
여기서 배운 Bayes Filter는 단지 State estimation을 할 때 사용하는 Framework으로 이해하면 된다.
Motion model 및 Observation model을 어떻게 정의하느냐, 확률 분포를 어떻게 가정하느냐, Parametric filter인가 Non-parametric filter인가 에 따라 다양하게 확장이 가능하다.
Bayes Filter에 대해서 정리를 하면 state estimation를 할 때 자주 쓰이는 Framework라고 이해를 하면 된다.
여러 Filter들의 기본이 되는 Filter이므로 잘 알아두는 것이 중요하다.
실제로 Bayes Filter를 사용할 때는 Motion model 및 Observation model을 어떻게 정의하느냐에 따라서 Bayes Filter를 구체적으로 설계할 수 있다.
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